SIKIŞTIRMA İŞİ ÜZERİNE BİR NOT ve ZAMANIN SONLULUĞU-I

Termodinamik dersinde, sıkıştırma işinin ara soğutma ile yapılması konusunda en sık karşılaşılan soru şudur: "Sıkıştırma işi, hâl değişimi izentropik olduğunda minimum olmuyor muydu? O zaman kompresörün izentropik veriminin anlamı nedir?"

Termodinamiğin mühendislik yaklaşımıyla anlatımında yapılan kabüllerin  ötesine geçilmeyişinden kaynaklanan bu soruyu, önce matematiksel sonra fiziksel açıdan irdeleyerek yanıt vermek gerekir.

Şekil 1    Politropik hâl değişimleri [1] 

Tanımlar

Önce, mühendislik yaklaşımında da yapılan tanımları yinelemekte fayda var. Bir sistemdeki entropi artışının nedenleri iki grupta sınıflandırılır: İç tersinemezlikler (sürtünme, âni genişleme, âni sıkıştırma vd.) ve dış tersinemezlikler (çevre ile sonlu sıcaklık farkında ısı geçişi.)

İç tersinemezliklerin olmadığı bir hâl değişiminde, kompresöre verilmesi gereken iş; adyabatik bir kompresör için mi fazladır, çevresi ile ısı alış verişi yapan bir kompresör için mi? 

Matematik

Olaya matematiksel olarak baktığımızda; mükemmel gazların politropik hâl değişimlerini ifade eden

= sabit                                                                                                                         (1)

ve v=V/m olmak üzere, mükemmel gaz hâl denklemi olan Pv=RT bağıntılarını birlikte ele aldığımızda, 1<=n<=k aralığında, belirli (P2/P1) için kompresöre vermemiz gereken işin miktarının n = 1 için minimum,  n=k için maksimum olduğunu kolaylıkla bulabiliriz.  Bunun nedeni, iç tersinemez ve sürekli (zamana bağlı olmayan) bir hâl değişiminin söz konusu olması ve bu hâl değişimindeki iş miktarının

                                                                      (2)

şeklinde hesaplanmasıdır. (Tds bağıntılarından çıkarılan ve  'tersinir sürekli akış işi' olarak nitelendirilen bu sonuç, tüm Termodnamik ders kitaplarında vardır. Kinetik ve potansiyel enerjiler de ihmâl edilmişlerdir.)

Şekil 1'de,  Eşitlik (2) ile verilen integralin değerinin,  1<=n<=k aralığında, n=1 için en az, n=k için en fazla olduğu görülmektedir. Şöyle ki; 

                                                                                                                   (3)

şeklinde hesaplanır.

 

n = 1 için ise, 

       (4)

olacaktır.

Ayrıca, T2 sıcaklığının belirli bir (P2/P1) oranı için n=k durumunda maksimum, n =1 için  ise

(T2 = T1) olacağı mükemmel gaz denkleminden ve mükemmel gazların politropik hâl değişimlerini ifade eden (1) eşitliğinden kolaylıkla elde edilebilecek olan aşağıdaki bağıntıdan anlaşılır: 

                                                      (5)

Öte yandan; sistemin entropisinin,  belirli bir (P2/P1) değerinde,  n = k için sabit kaldığı, 1<n<k   için ise  azaldığı da Şekil 1'de görülmektedir. Bu değişim, mükemmel gazların entropi değişimleri olan aşağıdaki denklemden de elde edilebilir:

               (6)

(6) bağıntısının sağ tarafındaki ikinci terim, basınç oranı sabit kaldıkça değişmeyeceği için, belirli bir basınç oranında sistemin entropisindeki değişim artan T2 ile artacaktır. n = k için bu bağıntının sağ tarafındaki iki terimin mutlak değerleri birbirlerine eşit olacak, hâl değişiminde entropi sabit kalacaktır. T2; 1<n<k aralığında, n değeri azaldıkça azalacağından (Eşitlik 5), sağ taraftaki birinci terim, n, k değerinden uzaklaştıkça ikinci terimden daha küçük olacak ve sistemin entropisi azalacaktır.     

Bu durumda; matematiksel olarak, mükemmel gaz denklemine ve mükemmel gazların politropik değişimlerine dayanarak hesaplanmış ve kompresöre verilecek işin T=sabit hâl değişimi (izotermal) en aza indirgeneceği anlaşılmış oldu. Fiziksel olarak kavranması için bu matematiksel kanıt yeterli mi? Öncelikle, izentropik durum (n=k) için verilen işin nereye harcandığını incelemek gerekir. 

Fizik ve Moleküler Düzeyde Olanlar

Sürekli akışlı bir sistemde iç tersinemezlikler yok ise ve iş verildiğinde, çevre ile ısı geçişi engelleniyorsa (adyabatik hâl değişimi); verilen işin tümü, sıcaklığın yükselmesine; dolayısıyla, akış işinin ve  moleküllerin iç enerjilerinin artmasına gidecektir. 

Akış işi, kütle giriş çıkışının olduğu sistemde, kontrol hacmine birim zamanda giren kütleye, kontrol hacmindeki basınca karşı çevre basıncı nedeniyle uygulanan kuvvetle kazandırılan hız nedeniyle yapılan iştir (Şekil 2). Aynı şekilde kontrol hacminden çıkan kütlenin, çevre basıncına karşı bir basınç uygulayarak iş yapacağı da unutulmamalıdır.)

                                                                                                                                              (7)

                                           

                      

                                                                                                                           (8)

 Şekil 2    Kontrol hacmine kütlenin girmesi.

Sıcaklıkları artan moleküllerin hızları arttığı için hareketleri  de artacak (Şekil 3); sistemi istenen P2 basıncına sıkıştırmak için giriş ve çıkış arasındaki entalpi (akış işi + iç enerji) kadar iş vermek gerekecektir. Mükemmel bir gaz için bu işin miktarı (9) numaralı eşitlikte verilmiştir. Eşitlik (5) ile birlikte düşünüldüğünde n=k (izentropik hâl değişimi) bu işin maksimum olacağı açıktır.

                                                    -w1-2 = h2-h1=cp(T2-T1)                                                              (9)

 

Şekil 3    Verilen işin tümünün moleküllerin iç enerji artışına, dolayısıyla sıcaklıklarının ve kinetk enerjilerinin artışına  neden olması.

Hâlâ, şu sorunun yanıtını bulamadık: İzentropik hâl değişimi referansımız olan, sıkıştırmada  en az iş gerektiren hâl değişimi değil miydi? 

Ondan önce de, şunu sormak gerekiyor: Verilen işin tümünün moleküllerin sıcaklıklarını artırmaya gittiği tersinebilir ve adyabatik hâl değişiminde hareketleri artan moleküllerin enerji seviyelerinin dağılım sayısı artmayacak mıdır? Daha yalın ve Boltzmann'ın [2] sözleri ile söylemek gerekirse, T2, P2 makro durumuna ('durum' sözcüğü ile termodinamik anlamdaki hâl, İngilizce 'state', belirtilmek istenmektedir. SUO) karşı gelen mikro durum sayısı" artmayacak mıdır? Kısacası, tersinebilir ve adyabatik olan bu hâl değişiminde entropi artmış olmayacak mıdır? Hani tersinebilir adyabatik izentropik demekti? Bir paradoks mu söz konusu?

Hayır! Tersinebilir ve adyabatik bir hâl değişiminde verilen iş nedeni ile kinetik enerjileri artan moleküllerin hareketi, 'mikro durum' sayısının  (yaygın ve yanlış  olarak 'düzensizlik' diye bilinen entropinin) artmasına yol açmayacaktır. Bunun nedeni, tersinebilir hâl değişiminde 'dağıtıcı' (dissipative) kuvvetlerin yer almayışı ve ayrıca hâl değişiminin adyabatik olmasıdır.

İknâ edici mi? Değil. Tersinemezlik (sürtünme, âni genişleme, âni sıkıştırma vd.) yok ama moleküllerin artan sıcaklıkları ile hareketleri artacağından mikro durum sayısı artmayacak mı?Artmayacak. Tersinemezlik yoksa, moleküllerin kinetik enerjilerinde, iç enerjilerinden kaynaklanan, artış düzgün dağılımlı ve uyumlu olacaktır. Sistem, özgün durumuna, çevre üzerinde hiç bir etki bırakmaksızın dönebilecektir, tersinemezlik ve ısı geçişi yoksa. Moleküllerin artan kinetik enerjileri 'kontrollü' olduklarından, sistem, bir kargaşaya sürüklenmeyecektir. Tersinemezlik, özgün hâle, çevre üzerinde etki bırakmaksızın dönememektir. Burada, moleküllerin kinetik enerjileri kontrol altındadır. Dolayısıyla, çevre üzerinde etki söz konusu değildir.

İşte tam bu noktada, mühendislik yaklaşımındaki 'sanki-dengeli hâl değişimi' kabülünü gözden geçirmek gerekiyor. Mühendislik termodinamiğinde uygulanan klasik termodinamikteki  bu kabüle göre, hâl değişimleri sonsuz bir zaman ölçeğinde gerçekleşir. Bu senaryoda, sistemler her an dengeye yaklaşabilir. Böylece,  maksimum verimlilik ve minimum entropi üretimi sağlanabilir. 

Ancak gerçek hâl değişimleri (süreçler)  sonlu zaman ölçeklerinde gerçekleşir ve tersinebilir olarak tasarlanmış süreçlerde bile sonlu zaman nedeniyle verimi  etkileyen tersinemezlikler olabilir. Sonlu zaman termodinamiği (finite time thermodynamics) mühendislik yaklaşımından farklı olarak, hâl değişiminin hızının, moleküllerin kinetik enerjisinin kontrolü üzerindeki etkisini gerçekçi bir biçimde açıklar [3]. Bu açıdan 'sonlu zaman termodinamiği', maksimum verim-minimum entropi amacına yönelik tasarımlar için mühendislik termodinamiğinden daha fazla mühendislerin işine yarayan bir yaklaşımdır. 

Isı geçişi kitaplarının en başındaki "Termodinamik ilk ve son durumlarla ilgilenir. Isının ve işin zamana göre değişimi ile ilgilenmez. Bunu ısı geçişi yapar." [4] açıklamaları da tartışmalıdır. Tersinebilir olarak tasarlanmış ve çok iyi yalıtılmış bir kompresöre enerji iş olarak çok kısa sürede aktarılırsa, yukarıda açıklanan moleküler kinetik enerji, Boltzmann'ın söz ettiği mikro durum sayısını artıracaktır. 

Sonlu zaman termodinamiği, hâl değişiminin hızı ve verimlilik arasındaki dengeleri araştırarak süreçlerin optimize edilmesini sağlar. Tersinebilir adyabatik sıkıştırma için, mühendislerin ve bilim insanlarının; kontrollü moleküler etkileşimleri ve entropinin sabit kalmasını ya da olabilecek en az şekilde değişmesini sağlarken, sıkıştırmayı ne kadar hızlı gerçekleştirebileceklerini değerlendirebilmeleri, ancak  sonlu zaman termodinamiği ile olanaklıdır.

Klasik mühendislik yaklaşımı ile sonlu zaman termodinamiği arasındaki fark irdelendiğinde, yazının başında sorulan "kompresörün izentropik verimi neden refrans olarak kullanılıyor, en az miktarda iş, izentropik hâl değişiminde geçerli değilse?" sorusunun yanıtı da şöyle verilebilir: İzentropik hâl değişimi, mühendislik termodinamiğinde, ideal olarak tanımlanabilen bir hâl değişimi olduğu için referans olarak kullanılıyor. İzentropik sıkıştırmanın ideal olarak tanımlanabilmesinin nedeni, bu hâl değişiminde gerekli olan işin minimum olması değil; kullanılabilirlik farkının (Eşitlik 10) doğrudan doğruya iş miktarına eşit olmasıdır (Kinetik ve potansiyel enerjiler ihmâl edilmiştir.)

                  (10)

Tersinebilir süreçte, mükemmel bir gazın sıkıştırılması için minimum değeri veren n = 1 (izotermal) durumunda ise sistem için olan ve  toplamdaki  enerji artışının makro ve mikro düzeyde değerlendirilmesini  bir sonraki yazıya bırakıyorum. 

[1]    Borgnakke C. ve R.E. Sonntag, Fundamentals of Thermodynamics, John Wiley&Sons, 8 th Edition, pp. 279, 2013.

[2]    Onbaşıoğlu, S.U., Entropiyi Anlamak, https://www.linkedin.com/pulse/entropiyi-anlamak-seyhan-uygur-onbasioglu-mhs2f/?trackingId=COISOrpwTpaLi4Ij6uCIRg%3D%3D, 23 Nisan 2024.

[3]    Andresen, B., Finite time thermodynamics and thermodynamic length, General Thermal Review, Volume 35, Issues 418–419, November–December 1996, Pages 647-650.

[4]    Bergman, T.L, Lavine A.S., Incropera F.P,, and Dewitt, D.P, Fundamentals of Heat and Mass Transfer, John Wiley & Sons, 7th Edition, 2011. pp. 2.