Denge-Dışı Türbülanslı Akışlarda* LES ve URANS’ın Farklı Kaba-Tanelendirme Stratejileri Olarak Yorumu
Türbülans modellemesinde Large Eddy Simulation (LES) ve Unsteady Reynolds-Averaged Navier–Stokes (URANS) genellikle çözünürlük, hesaplama maliyeti ve kapanış modelleri açısından karşılaştırılır. Bu tür karşılaştırmalar yararlı olmakla birlikte, büyük ölçüde işlemsel düzeyde kalmaktadırlar. Asıl önemli olan, her iki yaklaşımdaki çözülen değişkenlerin doğasına ilişkin bir karşılaştırma yapmaktır.
Türbülans modellemesi denge-dışı termodinamik(Kondepudi & Prigogine, 2014) çerçevesinde ele alındığında, çözülen değişkenlerin doğasının ne olduğu sorusu daha açık br şekil biçimde sorulabilir. Bu bakış açısına göre, LES ve URANS, dengeden uzak bir sisteme uygulanan kaba-tanelendirme (coarse-graining) işlemleri olarak yorumlanabilir. Kaba-tanelendirme işlemlerinin seçimi modelde hangi fiziksel içeriğin korunacağını belirler.
Kaba-tanelendirme, çok sayıda ince ölçekli detaya (mikroskobik durumlar, hızlı dalgalanmalar, küçük uzaysal yapılar) sahip bir sistemin, yalnızca ilgilenilen ölçekteki bilgiyi koruyan sadeleştirilmiş bir tanımla temsil edilmesidir. Bu süreç aynı zamanda kaçınılmaz bir bilgi kaybı içerir; çünkü, ince ölçekli yapıların ayrıntıları kaba tanelendirme sırasında bilinçli olarak elenir ve yalnızca seçilen ölçekte anlamlı olan bilgi korunur.
Türbülanslı akışlar doğaları gereği dengeden uzak sistemlerdir. Bu akışlarda enerji sürekli olarak sisteme girer, ölçekler arasında aktarılır ve dağılır. Salınımlar güçlüdür, çoğu zaman Gauss dağılımı göstermezler ve koherent yapılar stokastik hareketlerle bir aradadırlar. Bu nedenle, modellemedeki herhangi bir indirgenmiş tanım, hangi serbestlik derecelerinin korunacağını ve hangilerinin ortalamaya alınacağını açıkça ortaya koymalıdır. Dolayısıyla; denge-dışı sistemlerde farklı kaba-tanelendirme seçimleri aynı fiziksel sürecin niteliksel açıdan farklı biçimlerde temsil edilmesine yol açabilirler.
LES doğal olarak bir uzaysal kaba-tanelendirme olarak yorumlanabilir**
Burada , karakteristik bir uzunluk ölçeği ile ilişkili bir filtre çekirdeğidir (kernel).
Uygulamada bu filtreleme çoğu zaman kapalıdır (implicit); hesaplama ağı ve sayısal şema etkin bir filtre görevini görür (Pope, 2000). Bununla birlikte kavramsal temel aynıdır: büyük, enerji taşıyan ölçekler çözülür; küçük ölçekler ise elenerek modellenir. Bu yaklaşımın altında yatan varsayım, küçük ölçeklerin daha evrensel davranış sergilediği ve esas olarak disipasyondan sorumlu olduğu; buna karşılık büyük ölçeklerin sisteme özgü, denge-dışı dinamikleri taşıdığıdır. Filtreden elenen ölçekteki (Sub-grid Scale, SGS) model, çözülen ölçeklerden çözülmeyen ölçeklere doğru gerçekleşen tersinmez enerji aktarımını temsil eder. Termodinamik açıdan bu, yerel bir entropi üretim mekanizması olarak yorumlanabilir.
URANS ise zaman ortalamasına dayanır:
Bu yaklaşım, ortalama büyüklükler için denklemleri ve problemin kapanışını (closure) gerektiren Reynolds gerilme tensörünü ortaya çıkarır (Wilcox, 2006).
LES’ten farklı olarak, bu ortalama işlemcisi pratik hesaplamalarda açık olarak (explicit) uygulanmaz; bunun yerine türbülans modeli içinde kapalı (implicit) olarak yer alır. Bununla birlikte kavramsal varsayımlar nettir: salınımlar hızlı ve istatistiksel olarak durağan bileşenler olarak ele alınır; ortalama alan daha yavaş bir zaman ölçeğinde evrilir ve sistem belirli bir zamansal ortalama tanımına izin verir. Bu durum, zamana göre sanki-dengeli (quasi-equilibrium) varsayımına ya da ortalama alma aralığında istatistiksel durağanlığa karşılık gelir.
LES ve URANS denklemlerinin matematiksel yapılarının benzer olduğu ve kapanışlarının (örneğin eddy-viscosity modelleri) biçimsel olarak birbirine benzediği sıklıkla belirtilir. Bu gözlem doğru olmakla birlikte eksiktir. Temel fark; çözülmeyip modellenen gerilmelerin LES’te uzaysal ölçek ayrımından, URANS’ta ise zamandaki istatistiksel ortalamadan kaynaklanmasıdır.
Filtreler örtük (implicit) olsa ve kapanışlar (closures) benzer görünse bile, değişkenlerin ve gerilmelerin yorumu temelde farklıdır. Bu iki yaklaşım türbülansa ilişkin farklı fiziksel varsayımlar içermektedir ve bu varsayımların farklılığı önemlidir. Bu ayrım, özellikle, zamana bağlılığı yüksek, ayrılmaların olduğu veya geçiş rejiminde olan akışlarda kritik hale gelir. Bu tür akışlar; zamansal salınımların küçük pertürbasyonlar olarak ele alınamayacağı, koherent yapıların etkin olduğu ve sonuçta sanki-durağanlık varsayımlarının geçerli olmayacağı akışlardır. URANS’taki zamansal kaba-tanelendirme, bu akışları tanımlayan temel özellikleri bastırma eğiliminde olduğu için bu model, özünde dinamik olan süreçleri istatistiksel ortalamalar üzerinden yansıtmak zorunda kalır. Buna karşılık LES, büyük ölçekli yapıların zamansal evrimini korur ve yalnızca en küçük ölçekleri eler. Böylece; sistemin temel denge-dışı dinamiklerini korurken, yalnızca enerji kaskadının disipatif kısmını modeller. Bu fark, LES’in neden denge-dışı rejimlerde genellikle daha güvenilir sonuçlar verdiğini temel düzeyde açıklamaktadır.
Bu bakış açısı; çoğu kez LES sonuçları ile filtrelenmiş DNS verileri arasında karşılaştırma yapılırken, URANS sonuçlarının belirli bir zaman aralığında ortalaması alınmış DNS ile karşılaştırılmasının yok denecek kadar nadir olması şekllinde karşımıza çıkan metodolojik asimetriyi de açıklamakta, aslında. Bu asimetri, yalnızca, pratik nedenlerden kaynaklanmamaktadır. LES’te filtreleme işlemi (en azından ilke olarak) açık olarak (explicit) tanımlıdır ve DNS verilerine uygulanabilir. URANS’ta ise ortalama alma operatörü örtüktür (implicit), modele bağlıdır ve tekil olarak tanımlı değildir. Bu nedenle eşdeğer bir “ortalaması alınmış DNS” oluşturmanın olanağı yoktur.
Sonuç olarak; LES ve URANS yalnızca farklı kapanışlara sahip alternatif türbülans modelleri olarak görülmemelidir. Türbülans modelleri, dengeden uzak bir sisteme uygulanan farklı kaba-tanelendirme stratejileridir. LES, uzaysal kaba-tanelendirme yaparak büyük ölçeklerdeki denge-dışı dinamikleri korur ve küçük ölçeklerde disipasyonu modeller. URANS ise zamansal kaba-tanelendirme yaparak istatistiksel durağanlık varsayımına dayanır ve zamansal dalgalanmaları bastırır.
Bu bakış açısından performans farkı şaşırtıcı değildir: LES, denge-dışı dinamiklerin yapısına daha uygun bir temsil sunarken, URANS zamansal ortalamaya dayalı varsayımlara dayanır ve bu varsayımlar zamana bağlılığı yüksek akışlarda geçerli olmayabilir.
Türbülans modellemesindeki gelişmeler, kaba-tanelendirme stratejilerinin ve bunların termodinamik tutarlılığının daha açık olarak (explicit) ele alınmasını sağlayacaktır.
*Her ne kadar türbülans özünde denge-dışı bir olgu olsa da, tüm türbülanslı akışlar denge durumundan eşit derecede uzak değildir. Birçok kanonik akış istatistiksel olarak sanki-durağan davranış sergilerken, zamana bağlılığı yüksek, ayrılmaların olduğu veya geçiş rejiminde olan akışlar denge koşullarından önemli ölçüde sapar. Bu ayrım önemlidir; çünkü türbülans modelleri örtük olarak zamansal ve yapısal denge derecesine ilişkin farklı varsayımlara dayanır. Bu çalışmada denge-dışı ifadesi, durağanlık varsayımlarının geçerliliğini yitirdiği ve zamana bağlı koherent yapıların baskın hâle geldiği akış rejimlerini ifade etmek için kullanılmaktadır.
**Box-filtering
REFERENCES
Kondepudi, D., & Prigogine, I. (2014). Modern thermodynamics: From heat engines to dissipative structures (2nd ed.). Wiley.
Pope, S. B. (2000). Turbulent flows. Cambridge University Press.
Wilcox, D. C. (2006). Turbulence Modeling for CFD. DCW Industries.
Yorumlar
Yorum Gönder