ÖZET: İletimle ısı transferi, termodinamik çerçevesinde, basit bir fenomenolojik yasa değil, tersinmez yapının bir sonucudur. Isı akısı, lisans derslerinde belirtildiği gibi, yalnızca sıcaklık gradyeni tarafından yönlendirilmez; termodinamik kuvvet ∇(1/T) tarafından belirlenir (Kondepudi & Prigogine, 2015; de Groot & Mazur, 1984). Fourier yasası, aslında, enerjinin bir ortamda aktarımı süreçlerinin İkinci Yasa tarafından sınırlandığı gerçeğinin, dengeye yakın durum için özel bir anlatımıdır.
Isı iletimi, mikroskobik düzeyde, fiziksel olarak ‘enerji taşıyıcıları’nın hareketiyle gerçekleşir. Bu taşıyıcılar yalıtkan katılarda fononlar ve metallerde elektronlardır (Ziman, 2001; Ashcroft & Mermin, 1976). Enerji; sıcaklık gradyenleri boyunca aktarılır; ancak taşıyıcıların hareketleri fonon–fonon, elektron–fonon ve katışıkların (impurities) etkileşimleri gibi ‘saçılma’ süreçleri tarafından sürekli olarak kesintiye uğratılır. Bu etkileşimler, taşıyıcıların ortalama serbest yolunu sınırlar ve dolayısıyla sonlu bir ısıl iletkenlik oluşturur: k∼Cvl . Bu anlamda, ısıl direnç, ısı akışına karşı soyut bir karşı koyuş, bir engel değildir. Doğrudan taşıyıcı hareketini bozan ve rastgeleleştiren mikroskobik süreçlerden kaynaklanır.
Termodinamik açıdan, saçılma daha etkin bir sonuca yol açar. Yukarıdaki etkileşimlerin her biri (fonon–fonon, elektron–fonon ve katışıklar etkileşimi), mikroskobik dağılım fonksiyonlarında kodlanmış korelasyonları ve yönsel bilgiyi yok ederek sistemi yerel dengeye doğru sürükler. Bu gevşeme süreci bir bilgi kaybı oluşturur ve entropi üretimi, σ= Jq.∇(1/T) , ile birlikte gerçekleşir Sonuç olarak, ısı iletimi sıcaklık dağılımındaki düzensizliklerin geri döndürülemez biçimde entropiye dönüştürüldüğü bir aktarma–saçılma–geveşeme (relaxation) olayları dizisi olarak görülebilir. Özetle; ısıl iletkenlik, fononların ve elektronların enerji aktarma özelliğini yansıtırken, ısıl direnç tersinmezliği zorunlu kılan saçılma süreçlerinden doğar. Böylece; ısı iletiminin yalnızca bir enerji aktarımı değil, temelde dissipatif ve bilgiyi azaltan bir süreç olduğu açıktır.
Termodinamik Yapı: Akı-Kuvvet İlişkisi
Ilya Prigogine tarafından geliştirilen ve Modern Thermodynamics: From Heat Engines to Dissipative Structures’ta sunulan formülasyonda, ısı akısı bir termodinamik kuvvet cinsinden ifade edilir (Kondepudi & Prigogine, 2015):
(Lqq, ısı akısı ile termodinamik kuvvet arasındaki orantıyı veren Onsager katsayısıdır.)
Buna karşılık gelen entropi üretimi:
şeklindedir.
Küçük sıcaklık gradyenleri limitinde:
elde edilir ve bu ifade, ısıl iletkenliği k=Lqq/T^2 alarak, Fourier yasasını dengeye yakın bir yaklaşım olarak yeniden geçerli kılar.
Isı Taşınımının Mikroskobik Kökeni: Fononlar ve Elektronlar
Şekil 1’de gösterildiği gibi, saçılma mekanizmaları ısıl iletkenliği belirler. (Şekil 1, her ne kadar fononları gösterse de, aynı mekanizma elektronlar için de geçerlidir.)
Şekil 1 Fonon aracılı ısı iletimini kavramsal olarak gösteren bu şekil, saçılma mekanizmalarının (sınır, safsızlık ve etkileşim kaynaklı) fonon frekansının bir fonksiyonu olarak ısıl iletkenliği nasıl sınırladığını ortaya koymaktadır. Ziman (2001) ve Cahill vd. (2014)’te tartışılan genel ilkelerden uyarlanmıştır.
Taşıyıcıların durum dağılım fonksiyonları, fononlar için,
elektronlar için ise
ile tanımlanır. Burada , k, fononların kristal içindeki dalga doğasını yansıtan dalga vektörünü, p ise elektronların doğrusal momentumunu temsil etmektedir. (Fononlar için de p=ℏk bağıntısı geçerli olmakla birlikte, dalga karakteri nedeniyle k-uzayı temsili tercih edilir. Fononlar için p-uzayı kullanımı ile elektronlar için k-uzayı kullanımı arasındaki ayrım, türbülans modellemesinde spectral (dalga sayısı uzayı) ve spatial (fiziksel uzay) temsilleri arasındaki ayrıma kısmen benzetilebilir.)
Bu fonksiyonlar, belirli enerji ve yönlere sahip taşıyıcıların dağılımını yansıtır. Isı akısı, sıcak bölgelerdeki taşıyıcıların daha yüksek ortalama enerjiye sahip olmaları, daha soğuk bölgelere doğru ilerlemeleri ve net hareketlerinin bir enerji akısı oluşturması nedeniyle ortaya çıkar.
Daha kesin olarak, ısı akısı, taşıyıcılar tarafından aktarılan enerjinin, hızları ve dağılım fonksiyonları ile ağırlıklandırılmış istatistiksel toplamı olarak yorumlanabilir:
dΓ, burada toplamın alındığı faz uzayını temsil etmektedir.
Sonuç olarak, iletkenlik, fononların ve elektronların uzay boyunca enerji taşıması sayesinde fiziksel olarak ortaya çıkar.
Isıl Direncin Kökeni Saçılma
Fononlar ve elektronlar kesintisiz hareket edebilselerdi, ısı aktarımı balistik olurdu. Ancak gerçek sistemlerde:
i-) fonon–fonon etkileşimleri
ii-) fonon–hata ve sınır saçılması
iii-) elektron–fonon ve katışıklık saçılması
meydana gelir (Bkz. Ziman, 2001).
Bu etkileşimler, taşıyıcıların enerji taşıyabildiği mesafeyi sınırlar. Burada, ortalama serbest yol, l, tanımı yapılarak sonlu bir ısıl iletkenlik kavramı elde edilir.
Kinetik teoriye göre (Ziman, 2001; Ashcroft & Mermin, 1976), ısıl iletkenlik şu şekilde ifade edilebilir:
Burada:
- C: birim hacim başına ısı kapasitesi,
- v: karakteristik taşıyıcı hızı,
- l: ortalama serbest yol
anlamına gelir.
İletim sırasında ortaya çıkan ısıl direnç, enerji taşıyıcılarının ortalama serbest yolunu sınırlayan saçılma süreçlerinden kaynaklanır. Başka bir deyişle, saçılma olmadığında iletkenlik çok yüksek olurken, güçlü bir saçılma iletkenliği önemli ölçüde azaltır. Dolayısıyla saçılma ikincil derecede bir etki değildir; ısıl direncin fiziksel kökenidir.
Saçılma, Gevşeme ve Bilgi Kaybı
Saçılma, yalnızca ısı aktarımını sınırlamakla kalmaz; mikroskobik korelasyonları da geçersiz kılar. Bu durum ‘gevşeme fonksiyonu’ olarak ifade edilir:
Burada τ gevşeme zamanıdır, ‘eq’ ise denge durumunu belirtir.
Saçılma sürecinde; yönsel bilgi kaybolur, korelasyonlar ortadan kalkar ve sistem yerel dengeye yaklaşır.
Bu süreç, fononların ve elektronların dağılım fonksiyonlarının ‘yerel denge’ye doğru evrildiği bir ‘gevşeme’ mekanizması ile açıklanabilir. Saçılma kaynaklı olarak taşıyıcı dağılımlarının yerel dengeye doğru açılması (Ziman, 2001), denge-dışı termodinamiğin akı–kuvvet çerçevesinin (Kondepudi & Prigogine, 2015) temelini oluşturur.
Ayrıntılı bir faz uzayı temsilinden sıcaklık gibi makroskobik alanlara geçiş, etkin bir mikroskobik bilgi kaybıdır. Bu anlamda gevşeme (yerel dengeye dönüş) yalnızca kinetik bir süreç değil, mikroskobik dinamikleri makroskobik tersinmezliğe bağlayan bir kaba-tanelileştirme dönüşümüdür.
Difüzif Isı Taşınımının Ortaya Çıkışı
Sistemde bir sıcaklık gradyeni olduğunda; taşıyıcılar enerji aktarır; saçılma, hareketi kesintiye uğratır, ‘gevşeme’ ile yerel denge yeniden kurulur.
Bu tekrarlayan aktarma–saçılma–gevşeme döngüsü, difüzif ısı taşınımını oluşturur ve makroskobik akı–kuvvet ilişkisini ortaya çıkarır. Dolayısıyla; ısı iletimi yalnızca bir enerji aktarımı olmayıp aktarma ile saçılma kaynaklı gevşeme arasındaki etkileşim ile sürdürülen bir süreçtir.
Difüzif ve Balistik Rejimler
Bir ortam içerisindeki ısı aktarımın doğası şu şekildedir (Şekil 2):
i-) Difüzif aktarım (l<<L):
(sık saçılma → yerel denge → Fourier yasası geçerli)
ii-) Balistik aktarım (l>>L):
(seyrek saçılma → taşıyıcılar hafızayı korur → Fourier yasası geçerliliğini yitirir)
Difüzif rejimde:
geçerlidir. Balistik rejimde ise, yukarıda da değinildiği gibi, Fourier yasası geçerliliğini yitirir.
Şekil 2. Difüzif ve balistik ısı taşınımının karşılaştırılması. Difüzif rejimde () sık saçılma taşıyıcı hareketini rastgeleleştirir, yerel denge kurulur ve Fourier yasası geçerlidir. Balistik rejimde () taşıyıcılar önemli saçılma olmadan ilerler, yönsel bilgi korunur, yerel denge kurulamaz ve Fourier tipi davranış geçerliliğini yitirir.
Difüzif taşınıma tipik bir örnek, uçları arasında sabit bir sıcaklık farkı bulunan bir metal çubuk boyunca gerçekleşen ısı iletimidir. Bu durumda enerji esas olarak elektronlar tarafından (ve kafes içinde fononlar tarafından) taşınır; ancak elektron–fonon etkileşimleri, katışıklar ve kafes kusurlarından kaynaklanan sık saçılma olayları, taşıyıcı hareketini sürekli olarak rastgeleleştirir. Sonuç olarak yönsel bilgi hızla kaybolur, her noktada yerel denge kurulur ve ısı aktarımı, Fourier yasası ile doğru şekilde tanımlanan, gradyanla yönlendirilen bir difüzyon süreci olarak gerçekleşir.
Balistik aktarıma bir örnek ise, nanoskopik sistemlerde veya düşük sıcaklıklarda ortaya çıkar; bu durumda enerji taşıyıcılarının ortalama serbest yolu, sistemin boyutlarıyla aynı ya da daha büyük ölçeğe gelir. Örneğin; ince bir kristal filmde, ısıtılmış bir sınırdan yayılan fononlar, önemli bir saçılmaya uğramadan malzeme boyunca ilerleyebilir ve enerjiyi doğrudan daha soğuk tarafa aktarırken yönsel bilgilerini korur. Bu koşullar altında ortam içinde yerel denge kurulamaz ve ısı geçişi yerel sıcaklık gradyenlerinden daha çok sınır koşullarına bağlı hâle gelir. Böylece; Fourier tipi davranıştan artık sözedilemez.
Entropi Üretimi ve Tersinmezlik
İletimle ilişkili entropi üretimi,
şeklinde (Kondepudi & Prigogine, 2015) mikroskobik bilgi kaybının makroskobik bir şekilde ortaya çıkışı olarak yorumlanabilir. Her bir gevşeme (dengeye yeniden gelme) adımı, taşıyıcıların mikroskobik durumları arasındaki bağıntıları ortadan kaldırır, entropiyi artırır ve tersinmezliğe neden olur. Böylece iletim; sıcaklık gradyenlerini saçılmayı izleyen ‘gevşeme’ süreci ile entropiye dönüştürür.
Şimdiye dek anlatılanları birleştirirsek, iletimle ısı transferi çok ölçekli bir süreçtir. Şöyle ki;
• Mikroskobik düzey: fononlar ve elektronlar enerji taşır.
• Direnç mekanizması: Saçılma, taşıyıcıların hareketlerini sınırlar ve ısıl direnci oluşturur.
• Mezoskopik düzey: Dağılımlar yerel dengeye doğru yaklaşır.
• Makroskobik düzey: Difüzif yasalar ortaya çıkar. • Termodinamik düzey: Süreci entropi üretimi yönetir.
Özetle; ısıl iletkenlik, taşıyıcıların enerji aktarma özelliklerini yansıtırken, ısıl direnç bu aktarımı sınırlayan ve tersinmezliği oluşturan saçılma süreçlerinden kaynaklanır.
Isıl Direnç, Entropi Üretimi ve Tersinmezliğin Bütünleşik Görünümü
Isıl direnç genellikle ısı akışına karşı bir karşı koyma olarak yorumlanır. Aslında; entropi üreten,saçılma kaynaklı dengeye dönüşme süreçlerinin oluşumudur.
Mikroskobik düzeyde:
- saçılma ortalama serbest yolu, l’yi, sınırlar,
- yönlü enerji aktarımını kesintiye uğratır,
- taşıyıcı (fononlar, elektronlar) hareketini rastgeleleştirir.
Mezoskopik düzeyde:
- rahatlama, dağılımları yerel dengeye doğru sürükler,
- f(x, k, t) içinde yer alan yönsel bilgiyi ortadan kaldırır.
Termodinamik düzeyde:
- bu süreçler, akı-kuvvet ilişkisine göre entropi üretir:
Sonuç
Isıl direnç, hem enerji gradyenlerini dağıtan hem de bilgiyi yok eden mikroskobik süreçlerin makroskobik bir göstergesidir ve bu nedenle tersinmezliğe neden olur.
Bu anlamda iki farklı oluşum şöyle özetlenebilir:
i-) daha fazla saçılma → daha fazla entropi üretimi → daha büyük direnç
ii-) saçılmanın ortadan kalkması (balistik sınır) → minimum entropi üretimi → direncin ortadan kalkması.
Bu demektir ki; ısıl direnç enerji aktarımına karşı bir engel olmanın yanı sıra, İkinci Yasa’nın ısı iletiminde gerçekleşmesini sağlayan mekanizmadır (de Groot & Mazur, 1984; Kondepudi & Prigogine, 2015).
Isı iletimi ise yalnızca enerjinin sıcaklık gradyeni boyunca akışı değil; enerji taşıyıcılarının (fononlar ve elektronlar) hareketleri ve saçılmaları yoluyla, geçmişine ilişkin bilgiyi sürekli kaybeden mikroskobik düzenin makroskobik termodinamik entropiye geri döndürülemez dönüşümüdür.
KAYNAKLAR
- Ashcroft, N. W., & Mermin, N. D. (1976). Solid state physics. Brooks/Cole.
- Cahill, D. G., Braun, P. V., Chen, G., Clarke, D. R., Fan, S., Goodson, K. E., … Majumdar, A. (2014). Nanoscale thermal transport. Applied Physics Reviews, 1(1), 011305.
- de Groot, S. R., & Mazur, P. (1984). Non-equilibrium thermodynamics. Dover Publications.
- Kondepudi, D., & Prigogine, I. (2015). Modern thermodynamics: From heat engines to dissipative structures (2nd ed.). Wiley.
- Ziman, J. M. (2001). Electrons and phonons: The theory of transport phenomena in solids. Oxford University Press.
Yorumlar
Yorum Gönder